4cos^3x+ 3sin(x-пи/2)= 0 на промежутке от -2пи до -пи

Давайте решим уравнение $4\cos^3(x) + 3\sin(x - \frac{\pi}{2}) = 0$ на промежутке от $-2\pi$ до $-\pi$.

1. Начнем с упрощения выражения. Воспользуемся тригонометрической формулой для синуса сдвига:

Подставим это в исходное уравнение:

Теперь у нас получается:

2. Вынесем общий множитель $\cos(x)$:

Это уравнение равно нулю, если либо $\cos(x) = 0$, либо $4\cos^2(x) - 3 = 0$.

3. Рассмотрим два случая:

• Первый случай: $\cos(x) = 0$.

Значение косинуса равно нулю в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число. На промежутке $-2\pi \le x \le -\pi$ это значение принимает следующие значения:

Таким образом, $\cos(x) = 0$ при $x = -\frac{\pi}{2}$.

• Второй случай: $4\cos^2(x) - 3 = 0$.

Решим это уравнение:

Значения $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ могут быть получены в следующих точках:

• $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi$,

• $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.

На промежутке от $-2\pi$ до $-\pi$ получаем следующие значения:

• $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = -\frac{5\pi}{6}$,

• $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = -\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, на промежутке от $-2\pi$ до $-\pi$ у нас есть следующие решения: