Периметр прямоугольника равен 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы его площадь была наибольшей?

Чтобы найти стороны прямоугольника, при которых его площадь будет максимальной, при заданном периметре, нужно воспользоваться формулами для периметра и площади прямоугольника.

1. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

   $$P = 2(a + b)$$

   где $a$ и $b$ — это длины сторон прямоугольника. В задаче периметр равен 56 см, то есть:

   $$2(a + b) = 56$$

   Разделив обе части уравнения на 2, получаем:

   $$a + b = 28$$

2. Площадь прямоугольника выражается через стороны как:

   $$S = a \cdot b$$

3. Чтобы площадь была максимальной, нужно найти такие значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют условию $a + b = 28$ и при этом максимизируют произведение $a \cdot b$.

4. Для максимизации площади, из математического анализа известно, что при заданной сумме $a + b$ площадь будет максимальной, когда $a = b$, то есть прямоугольник становится квадратом.

5. Если $a = b$, то из уравнения $a + b = 28$ получаем:

   $$2a = 28$$ $$a = 14$$

Таким образом, стороны прямоугольника должны быть равны 14 см, чтобы его площадь была наибольшей. В этом случае прямоугольник превращается в квадрат.