найдите производную функции h(x)=3/x; v(h)=-1/h+3h; f(x)=2/3x+3x^2; f(x)=x^3(5x-1)(1-2x)

Для того чтобы найти производную каждой из данных функций, воспользуемся стандартными правилами дифференцирования, такими как правило дифференцирования дроби, производная суммы, произведения и цепной правила.

1. Производная функции $h(x) = \frac{3}{x}$:
   Запишем функцию как $h(x) = 3x^{-1}$.
   Производная по правилу степени:

   $$h'(x) = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}.$$

2. Производная функции $v(h) = -\frac{1}{h} + 3h$:
   Для нахождения производной функции $v(h)$ нужно применить стандартные правила дифференцирования.

   $$v'(h) = \frac{d}{dh}\left( -\frac{1}{h} \right) + \frac{d}{dh}(3h).$$

   Производная первого слагаемого:

   $$\frac{d}{dh}\left( -\frac{1}{h} \right) = \frac{1}{h^2},$$

   и производная второго слагаемого:

   $$\frac{d}{dh}(3h) = 3.$$

   Таким образом, производная функции:

   $$v'(h) = \frac{1}{h^2} + 3.$$

3. Производная функции $f(x) = \frac{2}{3}x + 3x^2$:
   Здесь используем стандартные правила для производных.

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{2}{3}x \right) + \frac{d}{dx}(3x^2).$$

   Производная первого слагаемого:

   $$\frac{d}{dx}\left( \frac{2}{3}x \right) = \frac{2}{3},$$

   и производная второго слагаемого:

   $$\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x.$$

   Таким образом, производная функции:

   $$f'(x) = \frac{2}{3} + 6x.$$

4. Производная функции $f(x) = x^3(5x - 1)(1 - 2x)$:
   Для нахождения производной этой функции используем правило производной произведения.
   Рассмотрим функцию как произведение трех множителей:

   $$f(x) = x^3 \cdot (5x - 1) \cdot (1 - 2x).$$

   Применим правило произведения для трех функций:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left( x^3 \right) \cdot (5x - 1)(1 - 2x) + x^3 \cdot \frac{d}{dx}\left( (5x - 1) \cdot (1 - 2x) \right).$$

   Сначала найдем производную $\frac{d}{dx}\left( (5x - 1)(1 - 2x) \right)$ с использованием правила произведения для двух множителей:

   $$\frac{d}{dx}\left( (5x - 1)(1 - 2x) \right) = \frac{d}{dx}(5x - 1) \cdot (1 - 2x) + (5x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(1 - 2x).$$