Найти производную функции: 1) f(x) = x^10 2) f(x) = -6x^2 3) f(x) = -6x^5 - 4x^4 - 3x + 27 4) f(x) = (x^4 - 3)(x^3+4) 5) f(x) = (3 - 2x)^7 6) f(x) = sin 7x 7) f(x) = cos^2x 8) f(x) = cosx + sinx Вычислите значение производной данной функции в точке x0: f(x) = x^5 - 3x^4 + x, x0 = -2 Решите неравенство f'(x) < 0: f(x) = 12x^3 + 2x^4 Вычислите f'(x) = 0: f(x) = 6x^2 + 32x + 2008

1. Найдем производную функции f(x) = x^10.

Производная от x^n, где n — константа, равна nx^(n-1). Применяя это правило:

f'(x) = 10x^9.

2. Найдем производную функции f(x) = -6x^2.

Производная от -6x^2:

f'(x) = -12x.

3. Найдем производную функции f(x) = -6x^5 - 4x^4 - 3x + 27.

Для каждой составляющей применяем правило дифференцирования:

f'(x) = -30x^4 - 16x^3 - 3.

4. Найдем производную функции f(x) = (x^4 - 3)(x^3 + 4).

Здесь применяем правило произведения:

f'(x) = (x^4 - 3)'(x^3 + 4) + (x^4 - 3)(x^3 + 4)'.

Для производных каждого множителя:

(x^4 - 3)' = 4x^3, (x^3 + 4)' = 3x^2.

Подставляем:

f'(x) = 4x^3(x^3 + 4) + (x^4 - 3)(3x^2)
f'(x) = 4x^6 + 16x^3 + 3x^6 - 9x^2
f'(x) = 7x^6 + 16x^3 - 9x^2.

5. Найдем производную функции f(x) = (3 - 2x)^7.

Применяем правило цепочки:

f'(x) = 7(3 - 2x)^6 * (-2) = -14(3 - 2x)^6.

6. Найдем производную функции f(x) = sin(7x).

Для производной от синуса применяем цепное правило:

f'(x) = 7cos(7x).

7. Найдем производную функции f(x) = cos^2(x).

Здесь также используем цепное правило:

f'(x) = 2cos(x)(-sin(x)) = -2cos(x)sin(x).

8. Найдем производную функции f(x) = cos(x) + sin(x).

Производные от косинуса и синуса:

f'(x) = -sin(x) + cos(x).

Вычисление значения производной функции f(x) = x^5 - 3x^4 + x в точке x0 = -2:

Найдем производную:

f'(x) = 5x^4 - 12x^3 + 1.

Теперь подставим x0 = -2:

f'(-2) = 5(-2)^4 - 12(-2)^3 + 1 = 5(16) - 12(-8) + 1 = 80 + 96 + 1 = 177.

Решение неравенства f'(x) < 0 для функции f(x) = 12x^3 + 2x^4:

Найдем производную функции:

f'(x) = 36x^2 + 8x^3.

Теперь решим неравенство:

36x^2 + 8x^3 < 0.

Вынесем общий множитель:

4x^2(9 + 2x) < 0.

Решим неравенство:

x^2(9 + 2x) < 0.

x^2 всегда неотрицательно, поэтому остается решать:

9 + 2x < 0,

x < -9/2.

Таким образом, неравенство выполнено для x < -9/2.

Вычисление f'(x) = 0 для функции f(x) = 6x^2 + 32x + 2008:

Найдем производную:

f'(x) = 12x + 32.

Теперь решим f'(x) = 0:

12x + 32 = 0,

12x = -32,

x = -32/12 = -8/3.