Сократить дробь (3х² + 8х - 3) / (9х² - 1)

Для того чтобы сократить дробь $\frac{3x^2 + 8x - 3}{9x^2 - 1}$, нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители, если это возможно.

Шаг 1. Разложим числитель $3x^2 + 8x - 3$.

Используем метод выделения среднего члена для разложения квадратного трёхчлена. Найдем такие два числа, которые в сумме дают 8 (коэффициент при $x$), а в произведении — произведение первого и последнего коэффициента: $3 \times -3 = -9$.

Ищем такие числа: $9$ и $-1$, так как $9 + (-1) = 8$ и $9 \times (-1) = -9$.

Теперь разложим $3x^2 + 8x - 3$ по этим числам:

Группируем:

Вынесем общие множители:

Теперь можно вынести общий множитель $(x + 3)$:

Итак, числитель разложен как $(3x - 1)(x + 3)$.

Шаг 2. Разложим знаменатель $9x^2 - 1$.

Это разность квадратов, её можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

Шаг 3. Подставим разложенные выражения в исходную дробь.

Теперь дробь выглядит так:

Мы видим, что множитель $(3x - 1)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Его можно сократить (при условии, что $x \neq \frac{1}{3}$, иначе дробь будет неопределённой).

Окончательно получаем:

Это и есть упрощённая форма дроби.