В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей 2 мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Для того чтобы найти вероятность того, что среди 5 детей в семье будет ровно 2 мальчика, мы можем воспользоваться биномиальным распределением.

Биномиальное распределение описывает вероятность того, что при n независимых испытаниях, где вероятность успеха (например, рождения мальчика) в каждом испытании равна p, будет ровно k успехов.

Формула для биномиального распределения выглядит так:

где:

• $P(k)$ — вероятность того, что будет ровно k успехов (мальчиков),

• $C(n, k)$ — количество сочетаний из n по k, то есть число способов выбрать k мальчиков из n детей. Это выражается как $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$,

• $p$ — вероятность того, что ребенок будет мальчиком (0,51),

• $1 - p$ — вероятность того, что ребенок будет девочкой (0,49),

• $n$ — общее количество детей (5),

• $k$ — количество мальчиков, которое мы ищем (2).

Подставляем значения в формулу:

Сначала вычислим количество сочетаний $C(5, 2)$:

Теперь подставляем все в формулу:

Вычислим $(0,51)^2$ и $(0,49)^3$:

Теперь подставляем все значения:

Выполняем окончательное вычисление:

Таким образом, вероятность того, что среди 5 детей будет ровно 2 мальчика, составляет примерно 0,3058, или 30,58%.