Найти корень уравнения: (1/3)^(x-7) = 1/81

Для решения уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-7} = \frac{1}{81}$ давайте последовательно преобразуем его.

1. Запишем число $\frac{1}{81}$ как степень числа $\frac{1}{3}$:
   Заметим, что $81 = 3^4$, следовательно:

   $$\frac{1}{81} = 3^{-4}$$

   Таким образом, уравнение можно записать как:

   $$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-7} = 3^{-4}$$

2. Перепишем $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:
   Уравнение теперь будет:

   $$(3^{-1})^{x-7} = 3^{-4}$$

   Применяя правило степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

   $$3^{-(x-7)} = 3^{-4}$$

3. Так как основания одинаковые (и равны 3), можем приравнять показатели степеней:

   $$-(x - 7) = -4$$

4. Решим полученное уравнение:

   $$-(x - 7) = -4$$

   Умножим обе стороны на $-1$:

   $$x - 7 = 4$$

   Добавим 7 к обеим сторонам:

   $$x = 4 + 7 = 11$$

Ответ: $x = 11$.