1) arctg √3 - arctg1 + arcctg (-√3) 2) tg (arcctg √3/3) 3) arcctg (sin π/2)

Решим по определению, принимая, что $\arctg x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, а $\operatorname{arcctg}x\in(0,\pi)$.

1. $\arctg\sqrt3-\arctg 1+\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)$

• $\arctg\sqrt3=\dfrac{\pi}{3}$ (так как $\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$).

• $\arctg 1=\dfrac{\pi}{4}$.

• $\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)=\theta\in(0,\pi)$, где $\cot\theta=-\sqrt3$. В $(0,\pi)$ это $\theta=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ (проверка: $\cot\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\cos}{\sin}=\dfrac{-\sqrt3/2}{1/2}=-\sqrt3$).

Складываем:

Ответ: $\boxed{\dfrac{11\pi}{12}}$.

2. $\tg\bigl(\operatorname{arcctg}\tfrac{\sqrt3}{3}\bigr)$

Если $\alpha=\operatorname{arcctg}a$, то $\cot\alpha=a$ и $\tan\alpha=\dfrac{1}{a}$ (в интервале $(0,\pi)$ знак корректный). Здесь $a=\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{1}{\sqrt3}$, значит

Ответ: $\boxed{}$