Вычислить sin(п/4+3п)

Для вычисления выражения $\sin\left(\frac{\pi}{4} + 3\pi\right)$, используем свойства тригонометрических функций.

1. Прежде всего, упростим выражение внутри синуса:

   $$\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{12\pi}{4} = \frac{13\pi}{4}.$$

2. Теперь определим, как работает синус с углами, превышающими $2\pi$. Период синуса равен $2\pi$, то есть $\sin(\theta) = \sin(\theta + 2\pi k)$, где $k$ — целое число. Нам нужно привести угол $\frac{13\pi}{4}$ к более удобному виду, вычитая кратное $2\pi$:

   $$\frac{13\pi}{4} - 2\pi = \frac{13\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.$$

3. Таким образом, $\sin\left(\frac{13\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)$.

4. Теперь вычислим $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)$. Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьем квадранте, где синус отрицателен. Мы знаем, что:

   $$\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4},$$

   и что $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$. Таким образом:

   $$\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right).$$

5. Значение $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому:

   $$\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $\sin\left(\frac{\pi}{4} + 3\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$