Миша решил заниматься спортом и начал отжиматься каждое утро. В первое утро он сделал 10 отжиманий, а каждое следующее утро он делал на одно и то же количество отжиманий больше, чем в предыдущее утро. За первые 12 дней он сделал всего 384 отжимания. Сколько отжиманий сделал Миша на седьмой день?

Задача сводится к нахождению общего числа отжиманий, сделанных Мишей за 12 дней, и расчёту количества отжиманий, которые он сделал на седьмой день.

1. Пусть $x$ — количество отжиманий, которые Миша увеличивает каждый день. На первое утро он делает 10 отжиманий, на второе — 10 + $x$, на третье — 10 + 2$x$, и так далее.

2. Математически количество отжиманий на $n$-й день можно записать как:

где $a_n$ — количество отжиманий на $n$-й день.

3. Сумма отжиманий за 12 дней равна 384, то есть:

Это сумма арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = 10$, разность прогрессии $d = x$, а количество членов прогрессии $n = 12$.

Сумма $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

Подставим значения:

Таким образом, каждый день Миша делает на 4 отжимания больше, чем в предыдущий.

4. Теперь, чтобы найти количество отжиманий на седьмой день, подставим $n = 7$ в формулу для $a_n$:

Ответ: Миша сделал 34 отжимания на седьмой день.