У каждого двузначного числа нашли произведение цифр, потом у каждого такого произведения подсчитали сумму цифр. Какая сумма самая большая?

Для начала разберемся, как найти сумму цифр произведения для каждого двузначного числа. Каждое двузначное число можно представить как $10a + b$, где $a$ — десятки, а $b$ — единицы числа.

Произведение цифр этого числа равно $a \times b$. Далее, нам нужно вычислить сумму цифр этого произведения.

Теперь рассмотрим все возможные двузначные числа и их произведения цифр:

1. Для числа $10$ (цифры 1 и 0) произведение равно $1 \times 0 = 0$, сумма цифр произведения = 0.

2. Для числа $11$ (цифры 1 и 1) произведение равно $1 \times 1 = 1$, сумма цифр произведения = 1.

3. Для числа $12$ (цифры 1 и 2) произведение равно $1 \times 2 = 2$, сумма цифр произведения = 2.

4. Для числа $13$ (цифры 1 и 3) произведение равно $1 \times 3 = 3$, сумма цифр произведения = 3.

5. Для числа $14$ (цифры 1 и 4) произведение равно $1 \times 4 = 4$, сумма цифр произведения = 4.

6. Для числа $15$ (цифры 1 и 5) произведение равно $1 \times 5 = 5$, сумма цифр произведения = 5.

7. Для числа $16$ (цифры 1 и 6) произведение равно $1 \times 6 = 6$, сумма цифр произведения = 6.

8. Для числа $17$ (цифры 1 и 7) произведение равно $1 \times 7 = 7$, сумма цифр произведения = 7.

9. Для числа $18$ (цифры 1 и 8) произведение равно $1 \times 8 = 8$, сумма цифр произведения = 8.

10. Для числа $19$ (цифры 1 и 9) произведение равно $1 \times 9 = 9$, сумма цифр произведения = 9.

И так далее для всех других двузначных чисел. Задача сводится к тому, чтобы найти максимальную сумму цифр произведений для всех возможных двузначных чисел.

Рассмотрим, например, число $99$. Произведение цифр равно $9 \times 9 = 81$, сумма цифр произведения равна $8 + 1 = 9$.

А теперь проверим, что получится, если вычислим для других чисел с большим произведением:

• Для числа $88$, произведение $8 \times 8 = 64$, сумма цифр произведения $6 + 4 = 10$.

• Для числа $77$, произведение $7 \times 7 = 49$, сумма цифр произведения $4 + 9 = 13$.

• Для числа $66$, произведение $6 \times 6 = 36$, сумма цифр произведения $3 + 6 = 9$.

• Для числа $55$, произведение $5 \times 5 = 25$, сумма цифр произведения $2 + 5 = 7$.

Таким образом, наибольшая сумма цифр произведений наблюдается для числа $77$, где сумма цифр произведения равна 13.