Перемножили все натуральные числа от 1 до 100, нашли и выписали сумму цифр полученного произведения, затем нашли сумму цифр и т.д. Наконец, получили однозначное число. Какое это число?

Задача требует найти сумму цифр произведения всех натуральных чисел от 1 до 100, а затем продолжить суммирование цифр, пока не получится однозначное число. Давайте разберем решение шаг за шагом.

1. Перемножение всех чисел от 1 до 100:
   Произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 — это факториал 100 (100!). Это число очень большое, и вычислить его вручную или даже сохранить его в стандартных вычислительных устройствах сложно. Однако, нам не нужно знать точно это число для дальнейших вычислений.

2. Сумма цифр большого числа:
   Нас интересует не само число, а сумма его цифр. Для решения задачи можно использовать интересное свойство чисел, связанное с делением на 9. Суть заключается в том, что сумма цифр числа при делении на 9 дает тот же остаток, что и само число. То есть, если мы находим сумму цифр числа и повторяем этот процесс, мы в итоге получим число, которое по модулю 9 эквивалентно изначальному числу.

3. Использование свойства делимости на 9:
   Поскольку нас интересует однозначное число, мы можем воспользоваться таким методом, как взятие числа по модулю 9. Это сильно упрощает задачу. Нужно просто вычислить факториал 100 по модулю 9.

4. Вычисление факториала по модулю 9:
   Мы знаем, что факториал чисел, начиная с 6!, имеет определенное свойство. Если мы вычислим факториал 6!, то он будет делиться на 9. Следовательно, для всех чисел от 6 и выше факториал будет делиться на 9. А значит, остаток от деления факториала 100 на 9 будет равен 0.

5. Получение однозначного числа:
   Сумма цифр факториала 100 в конечном итоге приведет нас к числу, которое по модулю 9 равно 9. Таким образом, результатом вычислений будет однозначное число 9.

Ответ: это число — 9.