При каких значениях a верно a² < a?

Для того чтобы найти значения $a$, при которых верно неравенство $a^2 < a$, можно решить его алгебраически.

1. Перепишем неравенство $a^2 < a$ в виде:

   $$a^2 - a < 0$$

2. Вынесем общий множитель:

   $$a(a - 1) < 0$$

3. Теперь анализируем неравенство $a(a - 1) < 0$. Оно верно, когда произведение двух множителей — $a$ и $(a - 1)$ — отрицательно. Для этого один множитель должен быть положительным, а другой — отрицательным. Это возможно в интервале между корнями уравнения $a(a - 1) = 0$, то есть $a = 0$ и $a = 1$.

4. Рассмотрим знаки произведения на разных промежутках:

   • Если $a < 0$, то оба множителя $a$ и $(a - 1)$ отрицательны, и их произведение положительно.

   • Если $0 < a < 1$, то $a$ положительно, а $(a - 1)$ отрицательно, их произведение отрицательно.

   • Если $a > 1$, то оба множителя положительны, и их произведение положительно.

Таким образом, неравенство $a(a - 1) < 0$ выполняется при $0 < a < 1$.

Ответ: неравенство $a^2 < a$ верно при $0 < a < 1$.