1) Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними 60 градусов. Найти биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. 2) В треугольнике ABC сторона AB равна 21, биссектриса BD равна 8√7, а отрезок DC равен 8. Найти периметр треугольника ABC.

1) Две стороны равны 3 и 6, угол между ними 60°. Найти биссектрису из вершины этого угла

Пусть в треугольнике $ABC$ дан угол $A = 60^\circ$, а стороны, образующие этот угол:

Нужно найти длину биссектрисы $AD$, где $D$ — точка на $BC$.

Есть стандартная формула длины биссектрисы из вершины угла $A$, если известны прилежащие стороны $b$ и $c$ и сам угол $A$:

Здесь $b = AC = 6$, $c = AB = 3$, $A=60^\circ$. Тогда

Подставляем:

Сокращаем $2$ и $\frac{1}{2}$:

Ответ: $AD = 2\sqrt{3}$.

2) В $\triangle ABC$: $AB=21$, $BD=8\sqrt{7}$, $DC=8$. Найти периметр $ABC$

Пусть $BD$ — биссектриса угла $B$ и точка $D$ лежит на стороне $AC$. Дано:

Обозначим:

Тогда

Шаг 1. Теорема о биссектрисе

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам:

Подставляем:

Шаг 2. Формула длины биссектрисы

Для биссектрисы $BD$ верна формула:

Подставляем данные:

Считаем левую часть: