1) Докажите неравенство: а) 6а(а+1) < (3а+1)(2а+1)+а; б) (2р-1)(2р+1)+3(р+1) > (4р+3)р; 2) Решите уравнение: 1 - __1__ = _6-х___ - __1__; 2-х 3х²-12 х-2 3) Упростите выражения: а) 1 + _а-х_ ; б) _а²-b²_ - 1 х a² __________ ; _________; ах 2a²b²

Вот как я решал.

1) Докажите неравенство

a) $6a(a+1) < (3a+1)(2a+1)+a$.

Раскроем скобки:

• слева: $6a(a+1)=6a^2+6a$;

• справа: $(3a+1)(2a+1)+a=6a^2+5a+1+a=6a^2+6a+1$.

Получаем $6a^2+6a<6a^2+6a+1$, что верно для любого $a$. Значит, неравенство истинно при всех $a$.

б) $(2p-1)(2p+1)+3(p+1)>(4p+3)p$.

Считаем:

• слева: $(2p-1)(2p+1)=4p^2-1$, значит $(4p^2-1)+3p+3=4p^2+3p+2$;

• справа: $(4p+3)p=4p^2+3p$.

Имеем $4p^2+3p+2>4p^2+3p$, т.е. слева на $2$ больше. Истинно при всех $p$.

2) Решите уравнение

Ограничения: $x\neq 2$ (деление на ноль в $\tfrac{1}{2-x},\tfrac{1}{x-2}$) и $x\neq -2$ (деление на ноль в $\tfrac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$).

Заметим $\frac{1}{2-x}=-\frac{1}{x-2}$. Тогда левая часть:

Перенесём всё к общему знаменателю $3(x-2)(x+2)$:

Получаем

Упростим: