Можно ли разрезать квадрат со стороной 1 километр на 31 квадратик, один из которых имеет сторону не больше одного метра?

Да, можно.

Идея такая. Известно, что квадрат можно разрезать на $n$ квадратов для любого $n\ge 8$ (невозможны только $n=2,3,5,7$). Значит, разбиение на 8 квадратов существует. Дальше пользуемся приёмом «доделки»: если заменить один из квадратов на равномерную сетку $t\times t$, общее число квадратов увеличится на $t^2-1$.

Берём любое разбиение на 8 квадратов. Заменяем один из квадратов сеткой $4\times 4$: количество квадратов становится $8+(16-1)=23$. Затем заменяем другой квадрат сеткой $3\times 3$: получаем $23+(9-1)=31$ квадратик. Таким способом мы строго добираем нужное число 31.

Осталось добиться, чтобы один из квадратиков был не больше 1 м. Это легко: на первом шаге (когда делаем разбиение на 8 квадратов) выбираем его так, чтобы один из квадратов был очень маленьким — например, со стороной не больше 4 м (это всегда можно устроить, «сняв» у границы тонкую ступеньку и укомплектовав из неё несколько квадратов, а остальное занимаем большим квадратом). Тогда, когда именно этот маленький квадрат мы заменим на сетку $4\times 4$, стороны новых квадратиков будут в 4 раза меньше, то есть не больше 1 м. В итоге получаем разбиение исходного километрового квадрата на 31 квадрат, причём один из них имеет сторону $\le 1$ м.