В группе из 50 ребят некоторые всегда пропускают при письме букву "р", а остальные — пропускают при письме букву "к". Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот", 18 других — слово "рот", а остальных — слово "крот". При этом слова "кот" и "рот" оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно?

Разобьём ребят на два типа:

• Тип A — всегда пропускают букву «р».

• Тип B — всегда пропускают букву «к».

Учитель дал задания:

• 10 человек пишут «кот»

• 18 человек пишут «рот»

• остальные 50 − 10 − 18 = 22 человека пишут «крот»

Посмотрим, что реально получается у каждого типа:

1) Если задано слово «кот»

• Тип A (пропускает «р») — буквы «р» тут нет, значит пишет «кот» (верно).

• Тип B (пропускает «к») — пишет «от».

2) Если задано слово «рот»

• Тип A (пропускает «р») — пишет «от».

• Тип B (пропускает «к») — буквы «к» тут нет, значит пишет «рот» (верно).

3) Если задано слово «крот»

• Тип A (пропускает «р») — из «крот» получится «кот».

• Тип B (пропускает «к») — из «крот» получится «рот».
  То есть никто не может написать «крот» правильно, потому что слово содержит и «к», и «р», а каждый тип обязательно одну из них пропустит.

Теперь введём обозначения:

• Пусть x — сколько среди тех 10, кому дали «кот», относятся к типу A (и поэтому написали «кот»).

• Пусть y — сколько среди тех 18, кому дали «рот», относятся к типу A (и поэтому написали «от»).

• Пусть z — сколько среди тех 22, кому дали «крот», относятся к типу A (и поэтому написали «кот»).

Тогда посчитаем, сколько раз получилось написано слово «кот»:

• из задания «кот»: его написали x человек (тип A)

• из задания «крот»: его написали z человек (тип A)

По условию «кот» написали 15 раз, значит:
x + z = 15 … (1)

Теперь слово «рот»:

• из задания «рот» его написали те, кто тип B: это 18 − y

• из задания «крот» его написали те, кто тип B: это 22 − z

По условию «рот» написали 15 раз:
(18 − y) + (22 − z) = 15
40 − y − z = 15
y + z = 25 … (2)

Вычтем (1) из (2):
(y + z) − (x + z) = 25 − 15
y − x = 10
y = x + 10

Теперь найдём, сколько написали верно.

Верно могут написать только:

• те, кто писал «кот» и был типом A → это x

• те, кто писал «рот» и был типом B → это 18 − y
  А те, кто писал «крот», верно не напишет никто.

Значит число правильных работ:
x + (18 − y)

Подставим y = x + 10:
x + 18 − (x + 10) = 8

Ответ: 8 ребят написали своё слово верно.