Какую последнюю цифру имеет произведение всех нечётных чисел от 1 до 99?

Нужно найти последнюю цифру произведения всех нечётных чисел от 1 до 99:

Последняя цифра числа определяется остатком по модулю 10, то есть нам важно понять произведение по модулю 10.

Ключевой момент: среди множителей есть число 5, а также есть много чётных множителей? Нет, чётных нет, но десятка получается не только как $2\cdot 5$. Нам достаточно получить множитель 10, то есть хотя бы один множитель 5 и хотя бы один множитель 2. Двоек в явном виде нет, но они могут появляться из произведения двух нечётных чисел, дающих чётное число: например,

то есть произведение нечётных всегда нечётное — значит, множителя 2 в произведении нет и число остаётся нечётным. Поэтому рассуждение про «получим 10» тут не подходит.

Сделаем правильно: посмотрим на произведение по модулю 10, используя то, что достаточно найти, станет ли произведение кратным 10 или хотя бы 0 по модулю 10. Кратность 10 невозможна, потому что произведение нечётных нечётно. Значит, последняя цифра будет одной из $1,3,5,7,9$.

Теперь заметим другое: в произведении есть множители, оканчивающиеся на 5: это 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 — всего 10 чисел. Если в произведении есть хотя бы одно число, оканчивающееся на 5, то произведение оканчивается на 5 только в том случае, если все остальные множители нечётные и не дают множителя 2 — а они действительно нечётные, значит это условие не мешает. Но есть важнее: произведение, содержащее множитель 5, будет оканчиваться на 5 тогда и только тогда, когда произведение остальных множителей оканчивается на нечётную цифру (что всегда так) — в итоге последняя цифра будет 5 или 5? Проверим: любая нечётная цифра $\times 5$ по модулю 10 даёт 5:

То есть как только мы умножили на 5, последняя цифра становится 5, и дальнейшее умножение на любое нечётное число оставляет последнюю цифру 5, потому что

В нашем произведении множитель 5 присутствует (и даже много раз), а все остальные множители нечётные. Значит, после первого же умножения на 5 последняя цифра становится 5 и уже не меняется.

Ответ: последняя цифра равна 5.