Решите уравнение 7/cos²x + 9/sinx = 10

Ответы на вопрос

Отвечает Вавилов Захар.

Решаем уравнение

\frac{7}{\cos^2 x}+\frac{9}{\sin x}=10,

учитывая область допустимых значений:

\sin x\neq 0,\quad \cos x\neq 0.

Обозначим $s=\sin x$ . Тогда

\cos^2 x = 1-\sin^2 x = 1-s^2.

Уравнение перепишется так:

\frac{7}{1-s^2}+\frac{9}{s}=10,

где дополнительно

s\neq 0,\quad 1-s^2\neq 0 \ (\text{то есть } s\neq \pm 1).

Умножим на $s(1-s^2)$ :

7s + 9(1-s^2) = 10s(1-s^2).

Раскроем скобки:

7s + 9 - 9s^2 = 10s - 10s^3.

Перенесём всё в одну сторону:

10s^3 - 9s^2 - 3s + 9 = 0.

Получили кубическое уравнение относительно $s=\sin x$ :

10s^3 - 9s^2 - 3s + 9 = 0.

У кубического уравнения есть ровно один действительный корень, и он попадает в $[-1,1]$ :

s \approx -0.8166914872.

Он допустим: $s\neq 0$ , а также $1-s^2 \approx 0.333\neq 0$ (значит $\cos x\neq 0$ ).

То есть

\sin x \approx -0.8166914872.

Если $\sin x = a$ , то решения:

x = \arcsin(a) + 2\pi k \quad \text{или}\quad x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.

Здесь $a\approx -0.8166914872$ , поэтому

\arcsin(a)\approx -0.9556542862\ \text{(радиан)}.

Тогда второе семейство:

x=\pi-(-0.9556542862)+2\pi k=\pi+0.9556542862+2\pi k \approx 4.0972469398+2\pi k.

\boxed{\,x \approx -0.9556542862 + 2\pi k\quad \text{или}\quad x \approx 4.0972469398 + 2\pi k,\ \ k\in\mathbb Z\, }.

Ответы на вопрос