1. Решите уравнение:а) 2cos²x + 2sinx = 2,5 б) sin2x = - cos2x в) sin 2x = 2√3sin²x г) √3 sinx + cosx = √2

а) Решим уравнение $2 \cos^2 x + 2 \sin x = 2,5$.

1. Разделим обе части уравнения на 2:

   $$\cos^2 x + \sin x = 1,25$$

2. Перепишем $\cos^2 x$ через $\sin x$ с использованием основной тригонометрической идентичности $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

   $$(1 - \sin^2 x) + \sin x = 1,25$$

3. Упростим:

   $$1 - \sin^2 x + \sin x = 1,25$$ $$-\sin^2 x + \sin x - 0,25 = 0$$

4. Умножим обе части уравнения на -1:

   $$\sin^2 x - \sin x + 0,25 = 0$$

5. Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Решим его с помощью дискриминанта. В уравнении $\sin^2 x - \sin x + 0,25 = 0$, $a = 1$, $b = -1$, $c = 0,25$.

   Дискриминант:

   $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = 1 - 1 = 0$$

   Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть один корень:

   $$\sin x = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$

6. Таким образом, $\sin x = \frac{1}{2}$. Это означает, что $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

б) Решим уравнение $\sin 2x = - \cos 2x$.

1. Разделим обе части на $\cos 2x$ (если $\cos 2x \neq 0$):

   $$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -1$$

   Это можно записать как:

   $$\tan 2x = -1$$

2. Уравнение $\tan 2x = -1$ имеет решение:

   $$2x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$$

   где $k$ — целое число.

3. Следовательно, $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

в) Решим уравнение $\sin 2x = 2\sqrt{3} \sin^2 x$.

1. Используем формулу для $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

   $$2 \sin x \cos x = 2\sqrt{3} \sin^2 x$$

2. Разделим обе части на 2:

   $$\sin x \cos x = \sqrt{3} \sin^2 x$$

3. Если $\sin x \neq 0$, разделим обе части на $\sin x$:

   $$\cos x = \sqrt{3} \sin x$$

4. Теперь можно записать это как:

   $$\frac{\cos x}{\sin x} = \sqrt{3}$$