Решите неравенство корень из x-3>x-5

Ответы на вопрос

Отвечает Бирюкова Алёна.

Рассмотрим неравенство:

\sqrt{x - 3} > x - 5

Шаг 1. Определим область допустимых значений

Для того чтобы корень был определен, выражение под корнем должно быть неотрицательным. То есть:

x - 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 3

Следовательно, область допустимых значений: $x \geq 3$ .

Шаг 2. Избавимся от корня

Для того чтобы решить неравенство, нужно избавиться от квадратного корня. Для этого возведем обе части неравенства в квадрат, но важно помнить, что при возведении неравенства в квадрат нужно учитывать, что квадрат числа не изменяет знак, если обе части неравенства положительные:

\left( \sqrt{x - 3} \right)^2 > (x - 5)^2

Получаем:

x - 3 > (x - 5)^2

Шаг 3. Раскроем скобки и упростим

Раскроем скобки в правой части неравенства:

x - 3 > x^2 - 10x + 25

Переносим все на одну сторону:

0 > x^2 - 10x + 25 - x + 3

Упрощаем:

0 > x^2 - 11x + 28

Или:

x^2 - 11x + 28 < 0

Шаг 4. Найдем корни квадратного уравнения

Теперь решим квадратное неравенство:

x^2 - 11x + 28 = 0

Для нахождения корней используем дискриминант:

D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9

Корни уравнения:

x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 3}{2}

Получаем два корня:

x_1 = \frac{11 + 3}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{11 - 3}{2} = 4

Шаг 5. Исследуем знаки

Квадратное неравенство $x^2 - 11x + 28 < 0$ имеет вид параболы, которая направлена вверх (так как коэффициент при $x^2$ положительный). Она будет меньше нуля между корнями 4 и 7. То есть:

4 < x < 7

Шаг 6. Проверим область допустимых значений

Мы нашли, что неравенство выполняется при $4 < x < 7$ , но также помним, что область допустимых значений изначально была $x \geq 3$ . Это означает, что конечный результат для решения неравенства — это:

4 < x < 7

Ответ:

Решением неравенства является промежуток:

x \in (4, 7)

Последние заданные вопросы в категории Математика