tg ПИ/4 * sin ПИ/3 * ctg ПИ/6

Давайте решим выражение:

1. Найдем значение $tg \frac{\pi}{4}$:
   Значение $tg \frac{\pi}{4}$ (тангенса угла $\frac{\pi}{4}$) равно 1, потому что $tg \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

2. Найдем значение $\sin \frac{\pi}{3}$:
   Значение $\sin \frac{\pi}{3}$ (синуса угла $\frac{\pi}{3}$) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Найдем значение $\cot \frac{\pi}{6}$:
   Значение $\cot \frac{\pi}{6}$ (котангенса угла $\frac{\pi}{6}$) равно $\sqrt{3}$, потому что $\cot \frac{\pi}{6} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

Упростим:

Ответ: $\frac{3}{2}$.