Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Да, это верно: если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то четырёхугольник является параллелограммом.

Доказательство.
Пусть дан четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию точка $O$ — середина обеих диагоналей, то есть:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

• $AO = OC$ (по условию),

• $BO = OD$ (по условию),

• $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы (углы между прямыми $AC$ и $BD$).

Значит, треугольники $AOB$ и $COD$ равны по признаку две стороны и угол между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

Эти углы — углы, которые образуют прямая $BD$ с прямыми $AB$ и $CD$. Равенство таких углов означает, что

Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$:

• $AO = OC$,

• $DO = OB$,

• $\angle AOD = \angle COB$ (вертикальные).

Следовательно, треугольники $AOD$ и $COB$ равны, откуда

а значит,

Итак, в четырёхугольнике $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны:

следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Вывод: условие “диагонали пересечением делятся пополам” является достаточным признаком параллелограмма.