Исследуйте функцию на чётность и периодичность; укажите основной период, если он существует а) y=sinx+cosx б) y= x^2 + |sinx|

Для того чтобы исследовать функцию на чётность и периодичность, начнём с каждого из предложенных случаев по очереди.

а) $y = \sin(x) + \cos(x)$

1. Чётность:

   • Функция называется чётной, если для всех $x$ выполняется условие $f(-x) = f(x)$.

   • Рассмотрим $y(-x)$ для данной функции:

     $$y(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin(x) + \cos(x)$$

     Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ (по крайней мере, из-за наличия минуса перед синусом), функция не является чётной.

2. Нечётность:

   • Функция называется нечётной, если для всех $x$ выполняется условие $f(-x) = -f(x)$.

   • Поскольку $y(-x) = -\sin(x) + \cos(x) \neq -(\sin(x) + \cos(x))$, то функция не является нечётной.

3. Периодичность:

   • Для проверки периодичности функции, рассмотрим её составные части.

     • Функция $\sin(x)$ имеет период $2\pi$.

     • Функция $\cos(x)$ также имеет период $2\pi$.

   • Сумма двух периодичных функций с одинаковым периодом будет также периодичной с тем же периодом, то есть период функции $y = \sin(x) + \cos(x)$ равен $2\pi$.

Ответ:

• Функция не является чётной и не является нечётной.

• Основной период функции — $2\pi$.

б) $y = x^2 + |\sin(x)|$

1. Чётность:

   • Рассмотрим $y(-x)$:

     $$y(-x) = (-x)^2 + |\sin(-x)| = x^2 + |\sin(x)|$$

     Мы видим, что $y(-x) = y(x)$, что означает, что функция чётная.

2. Периодичность:

   • Функция $x^2$ не является периодичной, так как она растёт без ограничений, и её график — парабола.

   • Функция $|\sin(x)|$ является периодичной с периодом $2\pi$, однако периодичность всей функции будет определяться поведением $x^2$, которое не имеет периода. Таким образом, сумма этих функций не будет периодичной, потому что одна из функций ($x^2$) не периодична.

Ответ:

• Функция является чётной.

• Периода не существует, так как одна из частей функции ($x^2$) не периодична.