Проверить, что точки A(-4; -3), B(-5; 0), C(5; 6), D(1; 0) служат вершинами трапеции, и найти её высоту.

Чтобы проверить, что точки A(-4; -3), B(-5; 0), C(5; 6) и D(1; 0) служат вершинами трапеции, нужно доказать, что одна пара противоположных сторон этих точек параллельна.

1. Для этого находим угловые коэффициенты (наклоны) для всех четырех сторон трапеции:

   • Угловой коэффициент стороны AB:
     $k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - (-3)}{-5 - (-4)} = \frac{3}{-1} = -3$.

   • Угловой коэффициент стороны BC:
     $k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{6 - 0}{5 - (-5)} = \frac{6}{10} = 0.6$.

   • Угловой коэффициент стороны CD:
     $k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{0 - 6}{1 - 5} = \frac{-6}{-4} = 1.5$.

   • Угловой коэффициент стороны DA:
     $k_{DA} = \frac{y_A - y_D}{x_A - x_D} = \frac{-3 - 0}{-4 - 1} = \frac{-3}{-5} = 0.6$.

2. Теперь проверим, что одна пара сторон параллельна:

   • Угловые коэффициенты сторон AB и CD равны $k_{AB} = -3$ и $k_{CD} = 1.5$, значит они не параллельны.

   • Угловые коэффициенты сторон BC и DA равны $k_{BC} = 0.6$ и $k_{DA} = 0.6$. Так как угловые коэффициенты равны, то стороны BC и DA параллельны.

Итак, так как одна пара сторон параллельна (BC и DA), то фигура является трапецией.

Теперь найдем высоту трапеции. Высота трапеции — это перпендикулярное расстояние между параллельными сторонами. Для этого можно использовать расстояние от точки до прямой. Рассмотрим точку C и прямую, содержащую сторону AB.

Уравнение прямой AB можно записать через её угловой коэффициент $k_{AB} = -3$ и точку A(-4, -3). Уравнение прямой будет иметь вид:
$y - (-3) = -3(x - (-4))$
или
$y + 3 = -3(x + 4)$
или
$y = -3x - 9$

Теперь вычислим расстояние от точки C(5; 6) до этой прямой. Формула расстояния от точки $(x_1, y_1)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ имеет вид:

Уравнение прямой $y = -3x - 9$ можно привести к виду $3x + y + 9 = 0$. Подставим координаты точки C(5, 6):