Решить неравенство х(квадрат)-х-2>0

Решим неравенство $x^2 - x - 2 > 0$.

1. Найдем корни соответствующего уравнения:

   Для начала решим уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Это квадратное уравнение, и мы будем решать его с помощью формулы для нахождения корней:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Где $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$.

   Подставим эти значения в формулу:

   $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$$ $$x = \frac{1 \pm 3}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

2. Разбиение на интервалы:

   У нас есть два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Эти корни разделяют числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, \infty)$.

3. Анализ знаков на интервалах:

   Теперь нужно определить знак выражения $x^2 - x - 2$ на каждом из этих интервалов. Для этого подставим значения $x$ из каждого интервала в исходное неравенство.

   • Для интервала $(-\infty, -1)$, например, возьмем $x = -2$:

     $$(-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4$$

     Положительное значение, значит, на интервале $(-\infty, -1)$ выражение положительное.

   • Для интервала $(-1, 2)$, например, возьмем $x = 0$:

     $$0^2 - 0 - 2 = -2$$

     Отрицательное значение, значит, на интервале $(-1, 2)$ выражение отрицательное.

   • Для интервала $(2, \infty)$, например, возьмем $x = 3$:

     $$3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4$$

     Положительное значение, значит, на интервале $(2, \infty)$ выражение положительное.

4. Решение неравенства:

   Нам нужно, чтобы $x^2 - x - 2 > 0$, то есть выражение должно быть положительным. Это происходит на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(2, \infty)$.

   Поэтому, решение неравенства:

   $$x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$$