Решите систему неравенства: х²-4 больше 0 х-4,7 / х+3,5 ≤ 0

Решаем систему:

1. $x^2-4>0$

2. $\dfrac{x-4{,}7}{x+3{,}5}\le 0$

1) Неравенство $x^2-4>0$

Разложим на множители:

Тогда

Произведение двух множителей положительно, когда они одинакового знака:

• оба отрицательны: $x<-2$

• оба положительны: $x>2$

Значит,

2) Неравенство $\dfrac{x-4{,}7}{x+3{,}5}\le 0$

Критические точки:

• числитель $x-4{,}7=0 \Rightarrow x=4{,}7$ (это значение можно включать, потому что $\le 0$)

• знаменатель $x+3{,}5=0 \Rightarrow x=-3{,}5$ (это значение нельзя включать, дробь не определена)

Рассмотрим интервалы:
$(-\infty,-3{,}5)$, $(-3{,}5,4{,}7)$, $(4{,}7,\infty)$

Проверим знак дроби на каждом:

• $x=-4$: $\dfrac{-4-4{,}7}{-4+3{,}5}=\dfrac{-8{,}7}{-0{,}5}>0$ — не подходит

• $x=0$: $\dfrac{-4{,}7}{3{,}5}<0$ — подходит

• $x=5$: $\dfrac{0{,}3}{8{,}5}>0$ — не подходит

Значит,

Пересечение решений (система)

Нужно одновременно:

и

Пересекаем по частям:

• $(-\infty,-2)\cap(-3{,}5,4{,}7]=(-3{,}5,-2)$

• $(2,\infty)\cap(-3{,}5,4{,}7]=(2,4{,}7]$

Ответ