В прямоугольную трапецию вписана окружность, радиус которой равен 3 дм. Найдите периметр трапеции, если разность большего и меньшего основания равна 8 дм.

Рассмотрим прямоугольную трапецию, в которую вписана окружность радиуса $r=3$ дм. Обозначим основания трапеции $a$ (большее) и $b$ (меньшее), причём по условию

1) Высота трапеции

Если в трапецию вписана окружность, то она касается обоих оснований. Значит расстояние между основаниями (то есть высота трапеции) равно сумме двух радиусов:

В прямоугольной трапеции один боковой катет (перпендикулярный основаниям) как раз равен высоте, значит один боковой сторона:

2) Наклонная боковая сторона

Разность оснований $a-b=8$ — это горизонтальный “сдвиг” между правыми (или левыми) концами оснований. В прямоугольной трапеции получается прямоугольный треугольник, у которого:

• один катет — высота $h=6$,

• второй катет — разность оснований $8$,

• гипотенуза — наклонная боковая сторона $c$.

Тогда

3) Свойство четырёхугольника с вписанной окружностью

Для любого выпуклого четырёхугольника, в который вписана окружность (касательная окружность), верно:

Для трапеции это означает:

Теперь имеем систему:

Складываем уравнения:

тогда

4) Периметр

Периметр трапеции:

Ответ: $32$ дм.