Верно ли утверждение: любые два последовательных числа взаимно просты?

Да, утверждение верно: любые два последовательных целых числа взаимно просты.

Обозначим два последовательных числа как $n$ и $n+1$. Предположим, что у них есть общий делитель $d>1$. Тогда:

• $d$ делит $n$, то есть $n = d\cdot k$ для некоторого целого $k$;

• $d$ делит $n+1$.

Но если $d$ делит оба числа, то он должен делить и их разность:

Значит, $d$ делит 1. А единственный положительный делитель числа 1 — это 1. Получаем противоречие с тем, что $d>1$.

Следовательно, никакого общего делителя больше 1 у $n$ и $n+1$ быть не может, то есть

Иными словами, любые два последовательных целых числа взаимно просты.