Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число *74* делилось на 18. Найдите все решения.

Пусть искомое число имеет вид a74b, где a — первая цифра (тысячи), b — последняя цифра (единицы). Тогда число четырёхзначное, значит a ≠ 0.

Чтобы число делилось на 18, оно должно делиться на 2 и на 9 одновременно.

1) Условие делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра чётная.
Значит, b должна быть одной из цифр:
0, 2, 4, 6, 8.

2) Условие делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Сумма цифр числа a74b равна:

Нужно:

Так как $11 \equiv 2 \pmod{9}$, получаем:

Значит, сумма $a+b$ должна быть равна 7 или 16 (следующая 25 уже невозможна, потому что $a \le 9$, $b \le 9$).

Перебор вариантов

Случай A: $a + b = 7$

Берём чётные $b$: 0, 2, 4, 6, 8.

• $b=0 \Rightarrow a=7$ → 7740

• $b=2 \Rightarrow a=5$ → 5742

• $b=4 \Rightarrow a=3$ → 3744

• $b=6 \Rightarrow a=1$ → 1746

• $b=8 \Rightarrow a=-1$ (не подходит)

Случай B: $a + b = 16$

Опять чётные $b$: 0, 2, 4, 6, 8.

• $b=0 \Rightarrow a=16$ (не цифра)

• $b=2 \Rightarrow a=14$ (не цифра)

• $b=4 \Rightarrow a=12$ (не цифра)

• $b=6 \Rightarrow a=10$ (не цифра)

• $b=8 \Rightarrow a=8$ → 8748

Ответ: все решения

Подходящие числа:

1746, 3744, 5742, 7740, 8748.