Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

Разберу геометрию через обозначения: пусть тупой угол ромба равен $\alpha$, а сторона — $a$. Главное условие даст значение $\cos\alpha$, затем меньшая диагональ определит сторону.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его тупой угол равен $\alpha$.

Проведём высоту из вершины тупого угла к противоположной стороне. По условию эта высота делит сторону ромба пополам.

Рассмотрим треугольник, который получается при проведении высоты. Так как высота попадает в середину противоположной стороны, то проекция стороны ромба на направление этой противоположной стороны равна половине стороны ромба.

Для тупого угла это даёт условие:

Отсюда:

Значит,

Так как соседние углы параллелограмма, а значит и ромба, в сумме дают $180^\circ$, второй угол равен:

Итак, углы ромба равны:

Теперь найдём сторону ромба. Диагонали ромба со стороной $a$ и углом $120^\circ$ равны:

Значит меньшая диагональ равна самой стороне ромба:

По условию меньшая диагональ равна $4$ см, поэтому:

Периметр ромба:

Ответ: углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$, периметр равен $16$ см.