В прямоугольник случайным образом бросается точка. Найдите вероятность события «точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника».

Чтобы найти вероятность того, что случайно брошенная точка окажется внутри треугольника, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника, давайте рассмотрим задачу поэтапно.

1. Прямоугольник и его свойства:
   Пусть у нас есть прямоугольник с длинами сторон $a$ и $b$. Вершины прямоугольника будут располагаться в точках $(0, 0)$, $(a, 0)$, $(a, b)$ и $(0, b)$.

2. Треугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника:
   Важно понимать, что для прямоугольника середины его сторон будут находиться в следующих точках:

   • Середина нижней стороны: $\left( \frac{a}{2}, 0 \right)$

   • Середина правой стороны: $\left( a, \frac{b}{2} \right)$

   • Середина верхней стороны: $\left( \frac{a}{2}, b \right)$

   Эти три точки образуют треугольник.

3. Площадь прямоугольника:
   Площадь прямоугольника равна $S_{\text{прямоугольника}} = a \cdot b$.

4. Площадь треугольника:
   Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника по координатам вершин. Вершины треугольника — это $\left( \frac{a}{2}, 0 \right)$, $\left( a, \frac{b}{2} \right)$ и $\left( \frac{a}{2}, b \right)$.

   Для этого используем формулу площади треугольника, заданного координатами его вершин:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$

   Подставим координаты вершин:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{2} \left( \frac{b}{2} - b \right) + a \left( b - 0 \right) + \frac{a}{2} \left( 0 - \frac{b}{2} \right) \right|$$

   Упростим это:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{2} \left( -\frac{b}{2} \right) + a \cdot b + \frac{a}{2} \cdot \left( -\frac{b}{2} \right) \right|$$ $$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \left| -\frac{ab}{4} + ab - \frac{ab}{4} \right|$$ $$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \left| ab - \frac{ab}{2} \right|$$ $$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \left( \frac{ab}{2} \right) = \frac{ab}{4}$$

5. Вероятность попадания точки в треугольник:
   Вероятность того, что случайно брошенная точка попадет в треугольник, равна отношению площади треугольника к площади прямоугольника:

   $$P = \frac{S_{\text{треугольника}}}{S_{\text{прямоугольника}}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4}$$