1.Из отрезка [0;1] случайным образом выбирается число х. Найдите вероятность того, что х≤0,8.
2. В таблице дано распределение некоторой случайной величины Х. Найдите пропущенную вероятность.
Значение Х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Вероятность 0,05 0,1 0,15 0,18 0,18 0,15 0,1
3.Случайная величина Х имеет математическое ожидание 1, а У имеет математическое ожидание 7. Найдите математическое ожидание случайной величины Z=10Х-3У.
5. Для серии из 5 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=0,4. Составьте таблицу распределения случайной величины «число успехов».

1. Задача: Из отрезка [0;1] случайным образом выбирается число х. Найдите вероятность того, что х ≤ 0,8.

Чтобы решить эту задачу, нужно понять, что на отрезке [0;1] все числа равновероятны, и вероятность того, что случайно выбранное число х будет меньше или равно 0,8, определяется длиной соответствующего подотрезка.

Длина отрезка [0; 0,8] составляет 0,8. Так как весь отрезок [0;1] имеет длину 1, вероятность того, что х ≤ 0,8, равна отношению длины подотрезка [0; 0,8] к длине отрезка [0; 1].

Таким образом, вероятность:
$P(x \leq 0,8) = \frac{0,8}{1} = 0,8.$

Ответ: Вероятность того, что х ≤ 0,8, равна 0,8.

2. Задача: В таблице дано распределение некоторой случайной величины Х. Найдите пропущенную вероятность.

Дано распределение случайной величины X с возможными значениями и вероятностями:

Для того чтобы найти пропущенную вероятность, нужно использовать факт, что сумма всех вероятностей для дискретной случайной величины всегда равна 1:

Подставляем известные значения вероятностей:

Вычитаем сумму известных вероятностей:

Таким образом, $P(X = 3) = 1 - 0,81 = 0,19$.

Ответ: Пропущенная вероятность $P(X = 3) = 0,19$.

3. Задача: Случайная величина Х имеет математическое ожидание 1, а Y имеет математическое ожидание 7. Найдите математическое ожидание случайной величины Z = 10X - 3Y.

Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин можно вычислить по формуле:

Знаем, что $E(X) = 1$ и $E(Y) = 7$. Подставляем эти значения в формулу:

Ответ: Математическое ожидание случайной величины Z равно -11.

4. Задача: Для серии из 5 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0,4. Составьте таблицу распределения случайной величины «число успехов».

Случайная величина "число успехов" в 5 независимых испытаниях Бернулли подчиняется биномиальному распределению с параметрами $n = 5$ (число испытаний) и $p = 0,4$ (вероятность успеха в одном испытании).

Формула для вероятности k успехов в n испытаниях для биномиального распределения:

где $\binom{n}{k}$ — это биномиальный коэффициент.

В нашем случае $n = 5$ и $p = 0,4$. Рассчитаем вероятность для каждого возможного значения числа успехов $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$:

• Для $k = 0$:

• Для $k = 1$:

• Для $k = 2$:

• Для $k = 3$: