Для каждого значения \( a \) решите уравнение \( x|x+1| + a = 0 \).

Решаем уравнение

Ключевой момент — модуль $|x+1|$, поэтому разбиваем по знаку $x+1$.

1) Случай $x\ge -1$

Тогда $|x+1|=x+1$, и уравнение становится

Дискриминант:

Реальные корни есть тогда и только тогда, когда $D_1\ge 0$, то есть

Корни:

Но нужно учесть ограничение $x\ge -1$:

• Корень

  $$x_2=\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}$$

  всегда удовлетворяет $x\ge -1$ (как только он существует, то есть при $a\le \tfrac14$).

• Корень

  $$x_1=\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}$$

  удовлетворяет $x\ge -1$ только при $a\ge 0$ (при $a<0$ подкоренное $\sqrt{1-4a}>1$, и корень уходит левее $-1$).

Итого из этого случая:

• при $a<0$: только $x_2$;

• при $0\le a\le \tfrac14$: оба $x_1$ и $x_2$;

• при $a>\tfrac14$: корней нет.

2) Случай $x<-1$

Тогда $|x+1|=-(x+1)$, и уравнение:

Дискриминант:

Реальные корни есть тогда и только тогда, когда $D_2\ge 0$, то есть

Корни:

Учитываем ограничение $x<-1$:

• Корень

  $$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$$

  всегда $\ge -\tfrac12$