Как решить ребус АБ+ВЕ+ЕА=АВЕ

Это ребус типа “буквы = цифры”, где одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. Запись:

АБ + ВЕ + ЕА = АВЕ

означает сложение трёх двузначных чисел, результат — трёхзначное.

Запишем столбиком:

Код
  А Б
+ В Е
+ Е А
-----
А В Е

Обозначим перенос из разряда единиц в десятки как c₁, из десятков в сотни как c₂.

1) Разряд единиц

В единицах складываются: Б + Е + А, а в ответе в единицах стоит Е.

Значит:

• (Б + Е + А) оканчивается на Е

• то есть разность (Б + Е + А) − Е кратна 10

Получаем:
Б + А = 10·c₁

Так как А — старшая цифра двузначного числа АБ, то А ≠ 0.
Сумма А + Б лежит от 1 до 18, значит единственный вариант кратности 10 здесь — это 10.

Отсюда:

• c₁ = 1

• А + Б = 10

2) Разряд десятков

В десятках складываются: А + В + Е и ещё перенос c₁.
В ответе в десятках стоит В.

Значит:
А + В + Е + c₁ = В + 10·c₂

Сокращаем В по обе стороны:
А + Е + c₁ = 10·c₂

Мы уже знаем c₁ = 1, значит:
А + Е + 1 = 10·c₂

Левая часть лежит от 2 до 19, значит снова единственный вариант кратности 10 — это 10.

Отсюда:

• c₂ = 1

• А + Е + 1 = 10

• Е = 9 − А

3) Разряд сотен

В сотнях в результате стоит А, а сотни берутся только из переноса c₂, потому что мы складываем двузначные числа.

То есть:
c₂ = А

Но мы нашли c₂ = 1, значит:
А = 1

Тогда:

• из А + Б = 10 получаем Б = 9

• из Е = 9 − А получаем Е = 8

4) Что с буквой В?

Цифра В нигде больше не ограничивается уравнениями разрядов, кроме требований ребуса:

• В — старшая цифра числа ВЕ, значит В ≠ 0

• буквы разные ⇒ цифры разные, значит В ≠ 1, 9, 8

Следовательно:
В ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Ответ (все решения)

Единственные значения букв:

• А = 1

• Б = 9

• Е = 8

• В = 2, 3, 4, 5, 6 или 7

Соответствующие равенства:

• 19 + 28 + 81 = 128

• 19 + 38 + 81 = 138

• 19 + 48 + 81 = 148

• 19 + 58 + 81 = 158

• 19 + 68 + 81 = 168

• 19 + 78 + 81 = 178