Дедушка с бабушкой, отправились в лес за грибами, взяли с собой внука Артема и внучку Настю. Все вместе они собрали 89 грибов. При этом бабушка вместе с Настей собрали не меньше, чем 45 грибов, а больше всех грибов собрал дедушка. Какое наибольшее число грибов мог собрать Артём.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество грибов, собранных каждым из членов семьи:

• Пусть $D$ — количество грибов, собранных дедушкой.
• Пусть $B$ — количество грибов, собранных бабушкой.
• Пусть $N$ — количество грибов, собранных Настей.
• Пусть $A$ — количество грибов, собранных Артемом.

Из условия задачи мы знаем, что:

1. Общее количество грибов:

   $$D + B + N + A = 89$$

2. Бабушка и Настя собрали не меньше 45 грибов:

   $$B + N \geq 45$$

3. Дедушка собрал больше всех грибов:

   $$D > B, \quad D > N, \quad D > A$$

Теперь давайте проанализируем, какое наибольшее количество грибов мог собрать Артем ($A$).

Шаг 1: Определим максимальное значение для $D$

Чтобы дедушка собрал больше всех, рассмотрим, что он собрал, например, 44 гриба. В этом случае бабушка и Настя должны собрать не меньше 45 грибов, что невозможно, так как общее количество грибов в этом случае составит 89, и тогда у Артема не останется грибов.

Таким образом, $D$ должен быть не меньше 45. Попробуем взять $D = 45$.

Шаг 2: Рассмотрим вариант, когда $D = 45$

Если $D = 45$, то общее количество грибов для бабушки, Насти и Артема будет равно:

Однако в этом случае $B + N \geq 45$, что также невозможно.

Шаг 3: Увеличиваем $D$

Попробуем увеличить значение $D$. Если взять $D = 46$, тогда:

Тогда $B + N \geq 45$ также не выполняется.

Если взять $D = 47$, тогда:

И снова $B + N \geq 45$ не выполняется.

Если взять $D = 48$, тогда:

И снова не выполняется.

Следующий шаг:

Если $D = 49$, то:

Но $B + N \geq 45$ опять не выполняется.

Если взять $D = 50$, то:

Опять не подходит.

Следующий шаг:

Если $D = 51$, то:

Опять не подходит.

Шаг 4: Подбор значений

Понимая, что дедушка должен собирать все больше, и что $D$ должно быть как минимум 45, давайте взять $D = 53$:

И опять $B + N \geq 45$ не выполняется.

Шаг 5: Установка границ

Находим верхнюю границу для $A$:

Если дедушка собрал 54, то:

Если $D = 55$, то:

Продолжая, мы увидим, что при увеличении $D$ до 58:

и так далее.

Заключение

При этих условиях видно, что Артем не может собрать более 22 грибов. Таким образом, наибольшее количество грибов, которое мог собрать Артем, равно 22.

Этот вывод подтверждается условиями, что бабушка и Настя собрали как минимум 45 грибов, а дедушка - больше всех, следовательно, сбор Артема ограничен.