Мама для троих сыновей ночью приготовила некоторое количество пирожных и утром ушла на работу. Когда проснулся первый сын, то посчитал все пирожные, съел 13 одну треть и ушел спать дальше. Затем, проснулся второй сын и, решив, что проснулся первым, сосчитал оставшиеся пирожные, съел 13 и ушел спать дальше. Точно также поступил третий сын. Когда все проснулись, то обнаружили, что осталось 8 пирожных. Сколько пирожных приготовила мама изначально?

Решим эту задачу, исходя из условий, что каждый из троих сыновей считал, что он первый, и каждый съедал по $\frac{1}{3}$ от пирожных, которые оставались после предыдущего.

Обозначим количество пирожных, которые приготовила мама изначально, как $x$.

1. Первый сын:

   • Он видит $x$ пирожных, съедает $\frac{1}{3}$ от этого количества, то есть $\frac{x}{3}$.
   • После того, как первый сын поел, остаётся $x - \frac{x}{3} = \frac{2x}{3}$.

2. Второй сын:

   • Просыпается второй сын и видит оставшиеся $\frac{2x}{3}$ пирожных.
   • Он съедает $\frac{1}{3}$ от оставшихся, то есть $\frac{1}{3} \times \frac{2x}{3} = \frac{2x}{9}$.
   • После того, как второй сын поел, остаётся $\frac{2x}{3} - \frac{2x}{9}$.
   • Приведём к общему знаменателю: $$\frac{2x}{3} - \frac{2x}{9} = \frac{6x - 2x}{9} = \frac{4x}{9}$$

3. Третий сын:

   • Просыпается третий сын и видит оставшиеся $\frac{4x}{9}$ пирожных.
   • Он съедает $\frac{1}{3}$ от оставшихся, то есть $\frac{1}{3} \times \frac{4x}{9} = \frac{4x}{27}$.
   • После того, как третий сын поел, остаётся: $$\frac{4x}{9} - \frac{4x}{27}$$
   • Приведём к общему знаменателю: $$\frac{4x}{9} - \frac{4x}{27} = \frac{12x - 4x}{27} = \frac{8x}{27}$$

4. Конечное условие:

   • После всех действий сыновей осталось 8 пирожных: $$\frac{8x}{27} = 8$$

5. Найдём $x$:

   • Умножим обе части уравнения на 27: $$8x = 8 \times 27$$
   • Получаем: $$8x = 216$$
   • Разделим обе части на 8: $$x = 27$$

Ответ: Мама изначально приготовила 27 пирожных.