Вычислить неопределенный интеграл и проверить его дифференцированием. a) S(3x-7)dx; b) S(3x^2 -3x+8)dx; c) S(cos3x -4x)dx;

Нужно найти первообразную (неопределённый интеграл) и затем проверить результат дифференцированием.

a) $\displaystyle \int (3x-7)\,dx$

Разобьём на сумму:

Считаем по правилам:

Итак,

Проверка дифференцированием:

Совпало с подынтегральной функцией.

b) $\displaystyle \int (3x^2-3x+8)\,dx$

Интегрируем по частям как сумму:

Считаем:

Значит,

Проверка дифференцированием:

Совпало.

c) $\displaystyle \int (\cos 3x-4x)\,dx$

Разобьём:

1) $\int \cos 3x\,dx$

Используем замену: $u=3x$, тогда $du=3\,dx$, то есть $dx=\frac{du}{3}$.