Oколо квадрата ABCD со стороной 8 см описана окружность с центром О . 1) Найдите площадь сектора , содержащего дугу BC. 2) Какой отрезок является образом стороны AD при повороте вокруг центра О по часовой стрелке на угол 90°

Чтобы решить поставленную задачу, давайте разберемся с каждым из вопросов по отдельности.

1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу BC.

Для начала, определим радиус окружности, описанной около квадрата ABCD. Поскольку квадрат ABCD имеет сторону 8 см, его диагональ будет равна:

Радиус окружности $R$ равен половине диагонали квадрата:

Теперь, чтобы найти площадь сектора, содержащего дугу BC, необходимо определить угол этого сектора. Поскольку дуга BC представляет собой одну четверть окружности (от B до C), угол, соответствующий этому сектору, равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Площадь полного круга вычисляется по формуле:

Подставим значение радиуса:

Площадь сектора, содержащего дугу BC, будет равна:

Где $\theta = \frac{\pi}{2}$ радиан. Подставим все значения:

Таким образом, площадь сектора, содержащего дугу BC, равна $8\pi$ см².

2) Какой отрезок является образом стороны AD при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол 90°?

Теперь определим, что произойдет с отрезком AD при повороте на 90° по часовой стрелке вокруг центра O.

Сначала определим координаты точек квадрата ABCD. Пусть A(0, 0), B(8, 0), C(8, 8), D(0, 8). Центр O квадрата будет находиться в точке:

Теперь мы можем определить координаты концов отрезка AD. Для точки A(0, 0) и точки D(0, 8):

1. Поворачиваем точку A(0, 0) на 90° по часовой стрелке относительно O(4, 4):

   • Вектор OA = A - O = (0 - 4, 0 - 4) = (-4, -4)
   • Поворачиваем вектор на 90°: (-4, -4) → (4, -4) (при повороте на 90° по часовой стрелке x становится y, а y становится -x)
   • Новая точка A' = O + (4, -4) = (4 + 4, 4 - 4) = (8, 0)

2. Теперь поворачиваем точку D(0, 8):

   • Вектор OD = D - O = (0 - 4, 8 - 4) = (-4, 4)
   • Поворачиваем вектор на 90°: (-4, 4) → (-4, -4)
   • Новая точка D' = O + (-4, -4) = (4 - 4, 4 - 4) = (0, 0)

Таким образом, отрезок AD после поворота на 90° по часовой стрелке становится отрезком A'D' с координатами A'(8, 0) и D'(0, 0).

В итоге, образ отрезка AD при повороте на 90° по часовой стрелке будет отрезок A'(8, 0) - D'(0, 0), который находится на оси X и имеет длину 8 см, так как это отрезок от точки (0,0) до точки (8,0).