На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 134°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Для решения этой задачи нужно использовать свойства касательной к окружности и свойства углов, связанных с окружностью.

1. Свойство касательной и радиуса: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это значит, что угол между радиусом окружности, проведенным в точку B, и прямой BC равен 90°.

2. Центральный и вписанный угол: Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, а вписанный угол — угол с вершиной на окружности, оба угла опираются на одну и ту же дугу. Важно помнить, что вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Учитывая, что меньшая дуга AB равна 134°, центральный угол, опирающийся на эту дугу, также будет 134°. Пусть точка O — центр окружности. Тогда ∠AOB = 134°.

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Угол O (центральный угол) равен 134°, а сумма углов в треугольнике всегда равна 180°. Значит, сумма двух других углов, ∠OAB и ∠OBA, равна 180° - 134° = 46°. Учитывая, что треугольник AOB равнобедренный (так как OA и OB — радиусы окружности и равны), углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно, ∠OAB = ∠OBA = 46° / 2 = 23°.

Угол ABC является вписанным углом, который опирается на дугу AC. Дуга AC равна полной окружности (360°) минус дуга AB (134°), то есть 360° - 134° = 226°. Центральный угол, опирающийся на дугу AC, будет также 226°, а вписанный угол ABC будет в два раза меньше: 226° / 2 = 113°.

Таким образом, угол ABC равен 113°.