Как решать уравнения?

Решать уравнения — это значит находить такие значения неизвестной, при которых равенство становится верным. Универсальной одной кнопки для всех уравнений нет, но есть общий порядок действий и набор типичных приемов.

Что такое уравнение

Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестная, например:

• $x + 5 = 12$

• $2x - 3 = 7$

• $x^2 - 5x + 6 = 0$

Решить уравнение — значит найти все значения $x$, которые подходят.

Общий принцип решения

Почти любое уравнение решают по одной логике:

1. Упростить обе части, если можно: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

2. Перенести все с неизвестной в одну сторону, а числа — в другую.

3. Свести уравнение к более простому виду.

4. Найти неизвестную.

5. Сделать проверку, подставив ответ обратно.

Главные правила преобразования уравнений

Есть несколько действий, которые можно делать с уравнением, не меняя его решений:

1. Прибавлять или вычитать одно и то же число из обеих частей

Пример:

$x + 7 = 10$

Вычитаем 7 из обеих частей:

$x = 3$

2. Умножать или делить обе части на одно и то же ненулевое число

Пример:

$3x = 15$

Делим обе части на 3:

$x = 5$

3. Раскрывать скобки

Пример:

$2(x + 3) = 10$

$2x + 6 = 10$

$2x = 4$

$x = 2$

4. Приводить подобные слагаемые

Пример:

$3x + 2x - 4 = 11$

$5x - 4 = 11$

$5x = 15$

$x = 3$

Как решать линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение первой степени, где неизвестная не возводится в квадрат, куб и так далее.

Пример 1

$x + 4 = 9$

Вычитаем 4:

$x = 5$

Пример 2

$2x - 7 = 3$

Прибавляем 7:

$2x = 10$

Делим на 2:

$x = 5$

Пример 3

$3(x - 2) + 5 = 14$

Раскрываем скобки:

$3x - 6 + 5 = 14$

$3x - 1 = 14$

$3x = 15$

$x = 5$

Как решать уравнения с дробями

Нужно либо аккуратно работать по действиям, либо избавиться от дробей, умножив обе части на общий знаменатель.

Пример

$\frac{x}{3} + 2 = 5$

Вычитаем 2:

$\frac{x}{3} = 3$

Умножаем на 3:

$x = 9$

Пример с двумя дробями

$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$

Общий знаменатель — 6. Умножаем всё уравнение на 6:

$3x + 2x = 60$

$5x = 60$

$x = 12$

Как решать квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид:

где $a \neq 0$.

Есть несколько способов решения.

1. Разложение на множители

Пример:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Нужно найти два числа, которые в произведении дают 6, а в сумме дают $-5$. Это $-2$ и $-3$.

Тогда:

$(x - 2)(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

• $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

• $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

Ответ: 2 и 3.

2. Через дискриминант

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

Дальше:

• если $D > 0$, два корня;

• если $D = 0$, один корень;

• если $D < 0$, действительных корней нет.

Формула корней:

Пример

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Здесь:

• $a = 1$

• $b = -4$