Решите уравнение: 4х^4 - 5х^2 + 1 = 0. Объясните, как решать биквадратные уравнения.

Для того чтобы решить уравнение $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$, необходимо использовать метод замены переменной, поскольку это биквадратное уравнение.

Шаги решения:

1. Преобразуем уравнение:
   Это уравнение имеет вид $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$, где $x^4$ и $x^2$ — это степени одного и того же числа. Вид уравнения напоминает квадратное, если заменить $x^2$ новой переменной. Пусть:

   $$y = x^2$$

   Тогда уравнение преобразуется в квадратное по переменной $y$:

   $$4y^2 - 5y + 1 = 0$$

2. Решаем квадратное уравнение:
   Теперь нужно решить квадратное уравнение $4y^2 - 5y + 1 = 0$. Для этого применим формулу решения квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Здесь $a = 4$, $b = -5$, $c = 1$. Подставляем эти значения в формулу:

   $$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$$ $$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8}$$ $$y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{8}$$ $$y = \frac{5 \pm 3}{8}$$

3. Находим значения $y$:
   Получаем два возможных значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$$ $$y_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

4. Возвращаемся к переменной $x$:
   Теперь, зная, что $y = x^2$, подставляем найденные значения $y$ обратно в уравнение $x^2 = y$.

   Для $y_1 = 1$:

   $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

   Для $y_2 = \frac{1}{4}$:

   $$x^2 = \frac{1}{4}$$ $$x = \pm \frac{1}{2}$$

5. Ответ:
   Таким образом, решение исходного уравнения $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$ — это $x = \pm 1$ и $x = \pm \frac{1}{2}$.

Как решать биквадратные уравнения:

Биквадратные уравнения имеют вид $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x^4$ и $x^2$ — степени одной и той же переменной. Чтобы решить такое уравнение, нужно использовать метод замены переменной:

1. Заменить $x^2$ на новую переменную $y$.

2. Получить квадратное уравнение по переменной $y$