Найдите критические точки функций, определенной на множестве действительных чисел: a) f(x)=4x+3 b) f(x)=x^3-2x^2-7x+3 c) f(x)=x^2-3x-3

Для нахождения критических точек функции, нужно найти производную функции и решить уравнение, где эта производная равна нулю (или не существует).

a) $f(x) = 4x + 3$

1. Находим производную:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x + 3) = 4$$

2. Производная постоянна и равна 4, что означает, что функция монотонна на всей своей области определения (множество действительных чисел). Производная не равна нулю, следовательно, критических точек нет.

Ответ: Критических точек нет.

b) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 3$

1. Находим производную:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 - 7x + 3) = 3x^2 - 4x - 7$$

2. Теперь решаем уравнение $3x^2 - 4x - 7 = 0$ с использованием формулы для решения квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{4 \pm 10}{6}$$

   Это даёт два корня:

   $$x = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}, \quad x = \frac{4 - 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$

Ответ: Критические точки функции $f(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 3$ находятся в точках $x = \frac{7}{3}$ и $x = -1$.

c) $f(x) = x^2 - 3x - 3$

1. Находим производную:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x - 3) = 2x - 3$$

2. Теперь решаем уравнение $2x - 3 = 0$:

   $$2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}$$

Ответ: Критическая точка функции $f(x) = x^2 - 3x - 3$ находится в точке $x = \frac{3}{2}$.

Итак, в итоговом виде ответы:

• а) Критических точек нет.

• б) Критические точки в $x = \frac{7}{3}$ и $x = -1$.

• в) Критическая точка в $x = \frac{3}{2}$.