По одному из данных чисел sin альфа; cos альфа; tg альфа; ctg альфа; найти остальные три: 1) sin

Ответы на вопрос

Отвечает Ковальчук Денис.

Дано: нужно по одному известному значению тригонометрической функции найти остальные три, учитывая промежуток, в котором лежит угол α.

1) $\sin \alpha = -\frac{5}{13}$ , $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$

Промежуток

\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi

соответствует IV четверти.

В IV четверти:

\sin \alpha < 0,\quad \cos \alpha > 0,\quad \tg \alpha < 0,\quad \ctg \alpha < 0

Дано:

\sin \alpha = -\frac{5}{13}

Используем основное тождество:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Подставим значение синуса:

\left(-\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1

\frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1

\cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169}

\cos^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{25}{169}

\cos^2 \alpha = \frac{144}{169}

\cos \alpha = \pm \frac{12}{13}

Так как угол в IV четверти, косинус положительный:

\cos \alpha = \frac{12}{13}

Теперь найдём тангенс:

\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

\tg \alpha = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}

\tg \alpha = -\frac{5}{12}

Котангенс — обратная величина к тангенсу:

\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}

\ctg \alpha = -\frac{12}{5}

Ответ:

\boxed{\cos \alpha = \frac{12}{13}}

\boxed{\tg \alpha = -\frac{5}{12}}

\boxed{\ctg \alpha = -\frac{12}{5}}

Промежуток

\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}

соответствует III четверти.

В III четверти:

\sin \alpha < 0,\quad \cos \alpha < 0,\quad \tg \alpha > 0,\quad \ctg \alpha > 0

Дано:

\ctg \alpha = \frac{7}{24}

Так как

\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

получаем отношение:

\cos <