Сократить дробь: 18^n+3 / 3^2n+5 * 2^n-2

Ответы на вопрос

Отвечает Мандельштам Адам.

Давай разберёмся с дробью шаг за шагом. Нам дана дробь:

\frac{18^n + 3}{3^{2n+5} \cdot (2^n - 2)}

Числитель — $18^n + 3$ . Заметим, что $18 = 2 \cdot 3^2$ , значит:

18^n = (2 \cdot 3^2)^n = 2^n \cdot 3^{2n}

Тогда числитель:

18^n + 3 = 2^n \cdot 3^{2n} + 3

Вынесем общий множитель $3$ :

2^n \cdot 3^{2n} + 3 = 3 \cdot (2^n \cdot 3^{2n-1} + 1)

Знаменатель — $3^{2n+5} \cdot (2^n - 2)$ . Заметим, что $2^n - 2 = 2(2^{n-1} - 1)$ . Таким образом, знаменатель:

3^{2n+5} \cdot (2^n - 2) = 3^{2n+5} \cdot 2 \cdot (2^{n-1} - 1) = 2 \cdot 3^{2n+5} \cdot (2^{n-1} - 1)

Теперь дробь выглядит так:

\frac{3 \cdot (2^n \cdot 3^{2n-1} + 1)}{2 \cdot 3^{2n+5} \cdot (2^{n-1} - 1)}

Вынесем общий множитель $3^{2n-1}$ из числителя, если это возможно:

2^n \cdot 3^{2n-1} + 1

Здесь ничего не сокращается с $3^{2n+5}$ в знаменателе, потому что оставшийся "+1" не делится на 3.

Также $2^n \cdot 3^{2n-1} + 1$ и $2^{n-1} - 1$ не имеют общих множителей, так что дальше сократить нельзя.

Дробь в максимально упрощённом виде:

\frac{3 \cdot (2^n \cdot 3^{2n-1} + 1)}{2 \cdot 3^{2n+5} \cdot (2^{n-1} - 1)}

Можно вынести $3$ из знаменателя как $3^{2n+5} = 3 \cdot 3^{2n+4}$ :

\frac{2^n \cdot 3^{2n-1} + 1}{2 \cdot 3^{2n+4} \cdot (2^{n-1} - 1)}

Это уже наиболее компактная форма.

Если хочешь, я могу показать ещё более "чистый" вид с меньшими степенями, но по сути это и есть сокращение.

Ответы на вопрос