Вова расставляет игрушечных солдатиков по 10 в шеренгу. В последней шеренге не хватило трёх солдатиков. Он стал ставить в шеренгу по 12 солдатиков — 7 осталось. Затем он уложил их в коробки по 100 штук — третья коробка оказалась неполной. Сколько всего солдатиков у Вовы?

Давайте разберём задачу шаг за шагом, аккуратно учитывая все условия.

Шаг 1. Введение переменной и условия

Пусть общее количество солдатиков у Вовы равно $N$.

1. Когда он ставит по 10 в шеренгу, в последней шеренге не хватает 3 солдатиков.
   Это значит, что если бы последняя шеренга была полной, нужно было бы $10k$ солдатиков. А у него на 3 меньше:

   $$N = 10k - 3 \quad \text{для некоторого целого } k$$

2. Когда он ставит по 12 в шеренгу, остаётся 7 солдатиков.
   Значит:

   $$N \equiv 7 \pmod{12}$$

3. Когда он укладывает в коробки по 100 штук, третья коробка неполная.
   Значит, $N > 200$, но $N < 300$.

Шаг 2. Совмещение условий

Из первого условия:

Так как $-3 \mod 10 = 7$.

Из второго условия:

Итак, у нас система сравнений:

Шаг 3. Решение системы сравнения

Если число $N \equiv 7 \pmod{10}$ и $N \equiv 7 \pmod{12}$, то оно имеет вид:

Тогда:

Ищем целые решения: минимальные положительные: $a = 6$, $b = 5$.

Тогда:

Следующие решения будут через общий период, равный наименьшему общему кратному 10 и 12, то есть $\text{НОК}(10,12) = 60$:

Шаг 4. Учёт условия про коробки

Коробки по 100 штук, третья коробка неполная:

• Значит, $200 < N < 300$ (две полные коробки = 200 солдатиков, третья неполная < 100).

Ищем $n$, такое что $N = 67 + 60n$ попадает в диапазон 201–299:

1. $67 + 60 \cdot 3 = 247$ — подходит (между 200 и 300)

2. $67 + 60 \cdot 4 = 307$ — уже больше 300, не подходит

Шаг 5. Проверка всех условий для N = 247

1. По 10 в шеренгу: $247 \div 10 = 24$ полные шеренги и 7 в последней → 3 не хватает до 10 ✅

2. По 12 в шеренгу: $247 \div 12 = 20$ полных шеренг (20*12=240), остаётся 7 ✅

3. По 100 в коробки: 2 полные коробки (200), третья 47 штук — неполная ✅

Все условия выполняются.

Ответ:

Вова всего имеет 247 солдатиков.