Что значит доказать тождество?

Доказать тождество — значит показать, что равенство верно при всех допустимых значениях переменных, которые в него входят.

Например, выражение

является тождеством, потому что оно выполняется для любых чисел $a$ и $b$. Какие бы значения мы ни подставили вместо $a$ и $b$, левая и правая части будут равны.

Важно понимать разницу между уравнением и тождеством.

Уравнение обычно верно не при всех значениях переменной, а только при некоторых. Например:

Это равенство верно только при $x=4$. Значит, это не тождество, а уравнение.

А вот равенство

верно при любом $x$. Значит, это тождество.

Доказать тождество можно разными способами. Обычно делают так: берут одну часть равенства и с помощью алгебраических преобразований приводят её к другой части. Например, нужно доказать:

Раскрываем скобки в левой части:

Получили правую часть. Значит, тождество доказано.

Иногда преобразуют обе части равенства и показывают, что они приводятся к одному и тому же выражению. Например, левая часть после упрощения даёт $3x+5$, и правая часть после упрощения тоже даёт $3x+5$. Тогда равенство является тождеством.

Ещё один способ — перенести всё в одну сторону и доказать, что разность левой и правой частей равна нулю при всех допустимых значениях переменных. То есть если нужно доказать, что

можно доказать, что

для всех допустимых значений.

Слово «допустимых» здесь очень важно. Например, если в выражении есть дробь, знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому тождество может быть верным не для всех вообще чисел, а только для тех, при которых выражения имеют смысл.

Например:

После разложения числителя:

получаем:

Но сокращать можно только при $x \ne 1$, потому что при $x=1$ знаменатель равен нулю. Значит, это равенство является тождеством при $x \ne 1$.

Таким образом, доказать тождество — это не просто проверить его на одном или двух числах. Подстановка отдельных значений может только помочь убедиться, но не является доказательством. Настоящее доказательство должно показать, что равенство выполняется всегда, для всех допустимых значений переменных.