1. Упростить выражение: ctga/tga + sin²a + cos²a 2. Доказать тождество: (1 + ctga)/(1 + tga) =

Ответы на вопрос

Отвечает Кузьмина Екатерина.

\frac{\ctg a}{\tg a} + \sin^2 a + \cos^2 a

Для начала разберемся, что такое $\ctg a$ и $\tg a$ . Напомню, что:

\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a}, \quad \tg a = \frac{\sin a}{\cos a}

Теперь рассмотрим первое слагаемое:

\frac{\ctg a}{\tg a} = \frac{\frac{\cos a}{\sin a}}{\frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}

Итак, первое слагаемое упростилось до $\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}$ .

Теперь второй элемент выражения: $\sin^2 a + \cos^2 a$ . Это известное тригонометрическое тождество, которое равно 1:

\sin^2 a + \cos^2 a = 1

Теперь объединим все вместе:

\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} + 1 = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\sin^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a}

Таким образом, упрощенное выражение:

\frac{1}{\sin^2 a} = \csc^2 a

\frac{1 + \ctg a}{1 + \tg a} = \ctg a

Для доказательства давайте преобразуем левую часть. Начнем с того, что выражения $\ctg a$ и $\tg a$ можно представить через синус и косинус:

\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a}, \quad \tg a = \frac{\sin a}{\cos a}

Подставим эти выражения в исходное тождество:

\frac{1 + \frac{\cos a}{\sin a}}{1 + \frac{\sin a}{\cos a}}

Чтобы упростить, умножим числитель и знаменатель на $\sin a \cos a$ , чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе:

\frac{\sin a \cos a + \cos^2 a}{\sin a \cos a + \sin^2 a}

Теперь упростим числитель и знаменатель:

\frac{\cos a (\sin a + \cos a)}{\sin a (\sin a + \cos a)}

Если $\sin a + \cos a \neq 0$ , то можно сократить $\sin a + \cos a$ :

\frac{\cos a}{\sin a}

Это выражение как раз равно $\ctg a$

Похожие вопросы

1. Упростить выражение: ctga/tga + sin²a + cos²a 2. Доказать тождество: (1 + ctga)/(1 + tga) = ctga