Доказать тождество cosa/1-sina=1+sina/cosa

Для доказательства тождества $\frac{\cos a}{1 - \sin a} = 1 + \frac{\sin a}{\cos a}$, преобразуем левую часть уравнения и покажем, что она равна правой.

1. Начнем с левой части:

Наша цель — привести выражение к виду, аналогичному правой части. Попробуем преобразовать дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряжённый к $1 - \sin a$ выражение — $1 + \sin a$. Это поможет избавиться от синуса в знаменателе.

Умножим и числитель, и знаменатель на $1 + \sin a$:

2. Упростим знаменатель. Это выражение — разность квадратов:

По тригонометрической тождеству $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$, поэтому знаменатель можно заменить на $\cos^2 a$:

3. Упростим дробь:

4. Теперь можно записать правую часть:

Замечаем, что $\frac{1 + \sin a}{\cos a}$ точно равно $1 + \frac{\sin a}{\cos a}$, так как:

Таким образом, мы доказали, что: