Тригонометрия Доказать тождество cos^2a/1-cos^2a = ctg^2a (^2– это квадрат; а- альфа; / - деление)

Для доказательства тождества $\frac{\cos^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha} = \cot^2\alpha$, будем использовать основные тригонометрические идентичности.

1. Начнем с левой части тождества $\frac{\cos^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha}$.

2. Обратим внимание, что $1 - \cos^2\alpha$ можно переписать как $\sin^2\alpha$, используя основную тригонометрическую идентичность:

   $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$$

   Следовательно, $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

3. Подставляем это в исходное выражение:

   $$\frac{\cos^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}.$$

4. Это выражение можно упростить, заметив, что $\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$ является определением $\cot^2\alpha$:

   $$\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \cot^2\alpha.$$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{\cos^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha} = \cot^2\alpha$.